${\lim }_{\mathrm{x}\to \mathrm{o}}\frac{\sin {\mathrm{x}}^0}{\mathrm{x}}$ এর মান কোনটি ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সীমাটি হলো:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^\circ}{x} \]

এখানে, \( \sin x^\circ \) বলতে বোঝানো হয়েছে \( x \) ডিগ্রি কোণের সাইন মান। ক্যালকুলাসের সীমার সূত্রাবলী ব্যবহার করার জন্য, কোণকে রেডিয়ানে প্রকাশ করা আবশ্যক।

আমরা জানি, \( 180^\circ = \pi \) রেডিয়ান।

অতএব, \( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \) রেডিয়ান।

তাহলে, \( x^\circ = x \cdot \frac{\pi}{180} \) রেডিয়ান।

এখন, সীমার রাশিটি হবে:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(x \cdot \frac{\pi}{180}\right)}{x} \]

আমরা জানি, সীমার একটি মৌলিক সূত্র হলো: \( \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \)

এই সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য, আমাদের হরকে \( x \cdot \frac{\pi}{180} \) আকারে আনতে হবে। এজন্য আমরা হরের মধ্যে \( \frac{\pi}{180} \) গুণ ও ভাগ করব:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(x \cdot \frac{\pi}{180}\right)}{x \cdot \frac{\pi}{180}} \cdot \frac{\pi}{180} \]

এখন, \( x \to 0 \) হলে, \( x \cdot \frac{\pi}{180} \to 0 \) হয়।

সুতরাং, সীমার সূত্র অনুযায়ী, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left(x \cdot \frac{\pi}{180}\right)}{x \cdot \frac{\pi}{180}} = 1 \)

অতএব, সম্পূর্ণ সীমার মান হবে:

\[ 1 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180} \]

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \( \frac{\pi}{180} \)।